4) \(\left(\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right)\cdot\left(\frac{2a}{4a^2-b^2}+\frac{1}{b-2a}\right)^{-1}+\frac{8a^2}{2a+b}\)

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Разложим знаменатели: \(4a^2+4ab+b^2=(2a+b)^2\), \(4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)\).

Упростим первую скобку: \(\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{(2a+b)^2}=\frac{2a(2a+b)-4a^2}{(2a+b)^2}=\frac{2ab}{(2a+b)^2}\).

Упростим выражение во второй скобке, используя \(\frac{1}{b-2a}=-\frac{1}{2a-b}\):

\(\frac{2a}{(2a-b)(2a+b)}-\frac{1}{2a-b}=\frac{2a-(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)}=-\frac{b}{4a^2-b^2}\).

Возведение в степень \(-1\) означает переход к обратной дроби: получаем \(-\frac{4a^2-b^2}{b}\).

Подставим и упростим:

\(\frac{2ab}{(2a+b)^2}\cdot\left(-\frac{(2a-b)(2a+b)}{b}\right)+\frac{8a^2}{2a+b}=-\frac{2a(2a-b)}{2a+b}+\frac{8a^2}{2a+b}=2a\).

Ответ: \(2a\).