4. Луч MD лежит внутри угла LMN, причем MN = ML, DN = DL. Докажите, что MD — биссектриса угла М.

Дано:

• Луч MD лежит внутри ∠LMN.
• MN = ML.
• DN = DL.

Доказать: MD — биссектриса ∠M.

Доказательство:

1. Рассмотрим △LMN. По условию MN = ML, значит, △LMN — равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике △LMN, MD является медианой к основанию LN (так как DN = DL, а LN = LD + DN), а также биссектрисой и высотой.
3. Если MD — биссектриса ∠LMN, то ∠LMD = ∠NMD.
4. Рассмотрим △MDN и △MDL:
• DN = DL (по условию).
• MD — общая сторона.
• MN = ML (по условию).
5. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), △MDN = △MDL.
6. Из равенства треугольников следует, что ∠NMD = ∠LMD.
7. Следовательно, MD является биссектрисой ∠LMN.

Что и требовалось доказать.