5*. В окружности с центром О проведены диаметры МК и РН, причем ДОРК = 40°. Найдите ДОМН.

Дано:

• Окружность с центром O.
• MK и PH — диаметры.
• ∠ORK = 40°.

Найти: ∠OMH.

Решение:

1. ∠ORK и ∠OMP — вертикальные углы. Следовательно, ∠OMP = ∠ORK = 40°.
2. MK — диаметр, значит, MO = OK (радиусы). △OMK — равнобедренный.
3. PH — диаметр, значит, PO = OH (радиусы). △POH — равнобедренный.
4. В △ORK: OK = OR (радиусы), значит, △ORK — равнобедренный.
5. ∠OKR = ∠ORK = 40° (углы при основании равнобедренного △ORK).
6. ∠MOK = 180° (развернутый угол, так как MK — диаметр).
7. ∠MOR = ∠MOK - ∠ORK = 180° - 40° = 140°.
8. Рассмотрим △MOR: MO = OR (радиусы), значит, △MOR — равнобедренный.
9. ∠OMR = ∠ORM = (180° - 140°) / 2 = 40° / 2 = 20°.
10. ∠OMH = ∠OMR = 20°.

Ответ: 20°