4. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 4 см, а её боковая сторона — 5 см. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит тупой угол трапеции пополам.

Пусть большее основание равно B см, а горизонтальный выступ каждого конца большего основания за меньшее равен x см. Тогда B = 4 + 2x.

Рассмотрим тупой угол при конце меньшего основания. Направления его сторон можно задать векторами (4, 0) и (−x, −h), где h — высота трапеции, а длина боковой стороны равна 5. Направление биссектрисы пропорционально сумме единичных векторов этих сторон: (1 − x/5, −h/5). Диагональ, делящая этот угол пополам, имеет направление (4 + x, −h). Из параллельности этих векторов следует 4 + x = 5 − x, откуда x = 0,5.

Тогда большее основание: 4 + 2 · 0,5 = 5 см. Периметр равен 4 + 5 + 2 · 5 = 19 см.

Ответ: 19 см.