№4. Между пятью городами ввели прямые авиалинии (каждый город соединен с каждым). Сколько авиалиний открыто?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем общее количество городов. Их 5.
2. Шаг 2: Понимаем, что каждая авиалиния соединяет ровно два города.
3. Шаг 3: Используем формулу для нахождения числа сочетаний из \(n\) по \(k\), где \(n\) - общее число элементов, а \(k\) - число элементов в каждой группе. В нашем случае \(n=5\) (города) и \(k=2\) (города, соединяемые авиалинией). Формула сочетаний: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
4. Шаг 4: Подставляем значения в формулу: \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \).
5. Шаг 5: Рассчитываем факториалы: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \), \( 2! = 2 \times 1 = 2 \), \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).
6. Шаг 6: Вычисляем результат: \( C(5, 2) = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \).
7. Альтернативный способ (подсчет):
8. Шаг 7: Первый город может быть соединен с 4 другими.
9. Шаг 8: Второй город уже соединен с первым, поэтому он может быть соединен с оставшимися 3.
10. Шаг 9: Третий город может быть соединен с оставшимися 2.
11. Шаг 10: Четвертый город может быть соединен с последним оставшимся.
12. Шаг 11: Суммируем: 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Ответ: 10