4. MNZ тікбұрышты үшбұрышында NZ қабырғасы 5 см-ге тең. Z = 90°, ∠MNZ = 45°. Центрі М нүктесінде болатындай шеңбер жүргізілген. а) Шеңбер мен MN түзуі жанаса үшін: b) Шеңбер мен NZ түзуінің ортақ нүктелері болмауы үшін: с) Шеңбер мен MN түзуінің екі ортақ нүктесі болуы үшін шеңбердің радиусы қандай болуы тиіс?

4. Тікбұрышты үшбұрыш және шеңбер

Берілгені:

• \( \triangle MNZ \) — тікбұрышты үшбұрыш.
• \( \angle Z = 90^{\circ} \)
• \( NZ = 5 \) см
• \( \angle MNZ = 45^{\circ} \)
• Шеңбердің центрі \( M \) нүктесінде.

Табу керек: шеңбердің радиусы \( r \) әртүрлі жағдайлар үшін.

Шешуі:

Алдымен \( \triangle MNZ \) -дағы бұрыштар мен қабырғаларды анықтайық.

\( \angle NMZ = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

\( \triangle MNZ \) — теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыш, себебі \( \angle MNZ = \angle NMZ = 45^{\circ} \).

Сондықтан \( NZ = MZ = 5 \) см.

Пифагор теоремасы бойынша \( MN \) -ді табамыз:

\[ MN^2 = NZ^2 + MZ^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \]

\[ MN = \(\sqrt{50}\) = 5\(\sqrt{2}\) \(\approx\) 7.07 \) см.

а) Шеңбер мен MN түзуі жанасу үшін:

Шеңбер \( MN \) түзуімен жанасу үшін, шеңбердің центрінен \( MN \) түзуіне дейінгі қашықтық радиуске тең болуы керек. \( M \) нүктесі \( MN \) түзуінің бойында жатқандықтан, бұл жағдай мүмкін емес, егер радиус \( 0 \) болмаса.

Егер \( MN \) түзуі жанасу үшін, \( M \) нүктесінен \( MN \) түзуіне түсірілген перпендикулярдың ұзындығы радиуске тең болуы керек. Бұл жағдайда радиус \( r=0 \) болады.

Альтернативті түсіндірме: Егер \( MN \) жанама болса, онда радиус \( r \) -ді \( M \) нүктесінен \( MN \) -ге дейінгі қашықтық ретінде қарастыруға болады. Бірақ \( M \) түзудің бойында жатқандықтан, бұл жағдай үшін радиус \( r=0 \) болады.

b) Шеңбер мен NZ түзуінің ортақ нүктелері болмауы үшін:

Шеңбер мен \( NZ \) түзуінің ортақ нүктелері болмау үшін, шеңбердің центрінен \( NZ \) түзуіне дейінгі қашықтық радиустен үлкен болуы керек. \( M \) нүктесінен \( NZ \) түзуіне дейінгі қашықтық \( MZ = 5 \) см.

Сондықтан, \( r > MZ \), яғни \( r > 5 \) см.

c) Шеңбер мен MN түзуінің екі ортақ нүктесі болуы үшін шеңбердің радиусы қандай болуы тиіс?

Шеңбер мен \( MN \) түзуінің екі ортақ нүктесі болу үшін, шеңбердің центрінен \( MN \) түзуіне дейінгі қашықтық радиустен кіші болуы керек. \( M \) нүктесі \( MN \) түзуінің бойында жатқандықтан, бұл жағдай мүмкін емес, егер радиус \( 0 \) болмаса.

Егер \( MN \) түзуі жанама емес, қиюшы болса, онда радиус \( r \) < \( MN \) болуы керек. Бірақ \( M \) түзудің бойында жатқандықтан, бұл жағдай үшін радиус \( r=0 \) болады.

Егер сұрақ \( MZ \) түзуі туралы болса, онда екі ортақ нүкте болу үшін \( r < MZ \) яғни \( r < 5 \) см болуы керек.

Егер сұрақ \( MN \) түзуі туралы болса, онда екі ортақ нүкте болу үшін \( r \) < \( MN \) емес, \( r \) > \( MN \) болуы керек, себебі \( M \) центрі түзуде жатыр. Егер \( r \) > 0 болса, онда шеңбер \( MN \) түзуін екі нүктеде қиып өтеді.

Егер \( MN \) түзуі жанама болса, онда \( r=0 \).

Қорытындылай келе, егер \( M \) центрі \( MN \) түзуінің бойында жатса, онда екі ортақ нүкте болу үшін \( r > 0 \) болуы керек.

Жауап:

а) \( r = 0 \)

b) \( r > 5 \) см

c) \( r > 0 \)