4. Мяч из состояния покоя падает с высоты h = 5 м. Определите скорость мяча в момент времени, когда его потенциальная энергия уменьшится в 2 раза. Сопротивлением движению пренебречь. Коэффициент g принять равным 10 Н/кг.

Решение:

По условию задачи, сопротивлением движению пренебрегаем. Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия мяча остается постоянной.

Начальная полная энергия (в момент падения с высоты \( h \)):

\[ E_{нач} = E_p + E_k = mgh + 0 = mgh \]

Когда потенциальная энергия уменьшится в 2 раза, ее значение будет \( E'_p = \frac{mgh}{2} \).

В этот момент скорость мяча будет \( v \), и кинетическая энергия будет \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \).

Новая полная энергия:

\[ E'_{полн} = E'_p + E_k = \frac{mgh}{2} + \frac{1}{2}mv^2 \]

По закону сохранения энергии:

\[ E_{нач} = E'_{полн} \]

\[ mgh = \frac{mgh}{2} + \frac{1}{2}mv^2 \]

Сократим массу \( m \) из каждого члена:

\[ gh = \frac{gh}{2} + \frac{1}{2}v^2 \]

Выразим \( v^2 \):

\[ \frac{1}{2}v^2 = gh - \frac{gh}{2} = \frac{gh}{2} \]

\[ v^2 = gh \]

\[ v = \sqrt{gh} \]

Подставим значения:

\[ v = \sqrt{10 \text{ Н/кг} \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{50 \text{ м}^2/\text{с}^2} \]

\[ v \approx 7,07 \text{ м/с} \]

Ответ: Скорость мяча приблизительно 7,07 м/с.