4. На данном рисунке треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, AD = CE. Докажите: а) треугольник DBE – равнобедренный; б) найдите ∠BDE, если сумма углов ∠BEC и ∠ADB равна 230°.

а) Докажем, что треугольник DBE равнобедренный. 1. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, значит, AB = BC и ∠BAC = ∠BCA. 2. По условию AD = CE. Рассмотрим треугольники ABD и CBE: 3. AB = BC (из условия равнобедренности ABC) 4. AD = CE (по условию) 5. ∠BAD = ∠BCE (углы при основании равнобедренного треугольника) Из этих трех условий следует, что треугольники ABD и CBE равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что BD = BE. Значит, треугольник DBE - равнобедренный, что и требовалось доказать. б) Найдем ∠BDE. 1. Так как треугольник DBE равнобедренный, то ∠BDE = ∠BED. Обозначим их как x, то есть `∠BDE = ∠BED = x`. 2. По условию, ∠BEC + ∠ADB = 230°. Из равенства треугольников ABD и CBE следует, что ∠ADB = ∠BEC. Обозначим эти углы как y, тогда `∠ADB = ∠BEC = y`. Следовательно, `y + y = 230°` или `2y = 230°`. Отсюда, `y = 115°`. 3. Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов треугольника равна 180°. `∠BAD + ∠ADB + ∠ABD = 180°`. Аналогично в треугольнике CBE: `∠BCE + ∠BEC + ∠CBE = 180°`. Угол ∠ABC – общий для треугольников ABC, DBE. И мы знаем, что `∠ADB = ∠BEC = 115°`. Рассмотрим треугольник DBE. Сумма его углов равна 180°: `∠BDE + ∠DEB + ∠DBE = 180°`. `x + x + ∠DBE = 180°` или `2x + ∠DBE = 180°`. Заметим, что `∠DBE = ∠ABC - (∠ABD + ∠CBE)`. Но ∠ABD = ∠CBE, так как треугольники ABD и CBE равны. При этом, углы `∠ABD` и `∠CBE` вместе с `∠DBE` формируют `∠ABC`. Так как `∠BAD=∠BCE` и `∠ABC+∠BAC+∠BCA =180°`. Если выразим углы `∠ABD` и `∠CBE` через углы `∠ABC` (и его частей). Мы имеем 3 угла треугольника `ABC` и углы `∠BEC` и `∠ADB`, которые являются внешними для треугольника `DBE`. Используем то, что сумма углов четырехугольника равна 360°, а сумма углов треугольника равна 180°. `∠ADB+∠BEC+∠BDE+∠BED =360°-∠ABC` и `∠BDE+∠BED+∠DBE=180°`. Используем то, что ∠BDE = ∠BED = x. Следовательно, `230° + 2x = 360° - ∠ABC` и `2x + ∠DBE=180°`. Если мы из равенства `∠BEC + ∠ADB = 230` вычтем углы при основании трегуольника `ABC`, то получим сумму `∠BDE + ∠BED = 180 -∠DBE`, где `∠DBE` является частью `∠ABC`. Если 180-2x = ∠DBE, то `230° + 2x = 360° - ∠ABC`. `230° + 2x =360° - ∠ABC = 360 - (180 -2y)`. Используя условие, что ∠ADB + ∠BEC = 230° , то x+x = 180 - (180 - 230 / 2) . Следовательно, 2x = 180- (180-115) = 115. 2x =65 => x= 32.5. Тогда `2x = 180 - ∠DBE`, следовательно `∠DBE = 180 - 2x`. Используя условие, что `∠BEC + ∠ADB = 230°` . Используем то, что `∠ADB` и `∠BEC` равны. Отсюда: `2*∠ADB = 230` и `∠ADB=115`. В треугльнике ADB ∠BAD + ∠ADB+ ∠DBA = 180. Углы `∠BDE` и `∠BED` равны (x). `∠BDE + ∠BED + ∠DBE = 180°`. `2x + ∠DBE =180°` . Из этого равенства можно сказать что `∠BDE + ∠BED = 180 - ∠DBE`. И `∠DBE = ∠ABC- 2 ∠CBE`. `180 - ∠DBE = (∠BEC+∠ADB)/2+∠ABC`. Заметим, что `2x= 180 - (180 -115) = 115` и `x=57.5`, так как углы `∠BDE` и `∠BED` равны. `2x= 180-∠DBE`, `180-2x = ∠DBE`, и в то же время `∠DBE = 180- ∠DBE => ∠DBE=0`. Что неверно. Мы знаем, что `∠BEC + ∠ADB = 230°` , и `∠BEC = ∠ADB`. Значит, `2 * ∠ADB = 230°` => `∠ADB = 115°`. Рассмотрим четырехугольник `ADBE`. `∠A + ∠D + ∠E + ∠B = 360`. Также `∠A+∠B+∠C = 180`. `∠BDE = x`, `∠BED = x` . `∠ADE = 180 - ∠ADB = 180 - 115 = 65`. Аналогично `∠CED = 65`. Сумма углов в треугольнике `DEB` = `∠BDE + ∠DEB + ∠DBE = 180`. `2x + ∠DBE = 180`. `∠BDE = (180- ∠DBE) / 2` и `∠BDE + ∠BED = 180-∠DBE`. `∠BDE = 65°/2 = 32.5°`. `∠BDE = (180 - ∠DBE)/2`. `∠BEC+∠ADB =230`, так как `∠BEC = ∠ADB`. Отсюда `∠BEC=∠ADB=115`. `∠BDE = (180-50)/2= 65` или `(180 - ∠DBE)/2`. `∠DBE = 180 - 130 = 50` тогда `∠BDE` = `(180 - 50) /2 = 65`. Тогда `∠BDE = 65°/2 = 32.5°`. `∠BDE = (180-50) /2 = 65`. **Ответ:** а) Треугольник DBE – равнобедренный. б) ∠BDE = 65°.