4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки E и F так, что ∠BCE = ∠DAF (точка E лежит между точками B и F). Докажите, что CE = AF.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому OB = OD, а стороны AB и CD равны и параллельны.

1. Так как точки B, E, F, D лежат на одной прямой, лучи BE и DF направлены вдоль диагонали BD. Из параллельности AB и CD следует, что ∠ABE = ∠CDF.
2. Углы ∠CBE и ∠ADF равны: CB ∥ AD, а BE и DF лежат на BD.
3. По условию ∠BCE = ∠DAF. Следовательно, треугольники BCE и DAF подобны по двум углам.
4. При этом соответствуют вершины B ↔ D, C ↔ A, E ↔ F. В параллелограмме BC = AD, поэтому коэффициент подобия равен BC/AD = 1.

Значит, соответствующие стороны равны: CE = AF.

Ответ: CE = AF.