4. На клетчатой бумаге (1х1) нарисован треугольник АВС. Найти сумму углов АВС и ACB.

Дано:

Треугольник АВС на клетчатой бумаге 1х1.

Найти:

Сумму углов АВС и ACB.

Решение:

Чтобы определить углы, нам нужно знать координаты вершин треугольника. По изображению:

• A = (1, 3)
• B = (4, 4)
• C = (3, 1)

В прямоугольной системе координат, где каждая клетка - это 1 единица, мы можем определить векторы сторон:

\[ \vec{BA} = A - B = (1-4, 3-4) = (-3, -1) \]

\[ \vec{BC} = C - B = (3-4, 1-4) = (-1, -3) \]

Чтобы найти угол между двумя векторами, можно использовать формулу через скалярное произведение:

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} · \vec{BC}}{||\vec{BA}|| · ||\vec{BC}||} \]

\[ \vec{BA} · \vec{BC} = (-3)(-1) + (-1)(-3) = 3 + 3 = 6 \]

\[ ||\vec{BA}|| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \]

\[ ||\vec{BC}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \]

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{6}{\sqrt{10} · \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = 0.6 \]

\[ \angle ABC = \arccos(0.6) \approx 53.13^{\circ} \]

Теперь найдем угол ACB:

\[ \vec{CA} = A - C = (1-3, 3-1) = (-2, 2) \]

\[ \vec{CB} = B - C = (4-3, 4-1) = (1, 3) \]

\[ \vec{CA} · \vec{CB} = (-2)(1) + (2)(3) = -2 + 6 = 4 \]

\[ ||\vec{CA}|| = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \]

\[ ||\vec{CB}|| = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \]

\[ \cos(\angle ACB) = \frac{4}{\sqrt{8} · \sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{80}} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

\[ \angle ACB = \arccos(\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx 63.43^{\circ} \]

Сумма углов:

\[ \angle ABC + \angle ACB \approx 53.13^{\circ} + 63.43^{\circ} = 116.56^{\circ} \]

Примечание: На клетчатой бумаге можно было бы попытаться определить углы визуально или использовать теорему Пифагора для определения длин сторон и затем косинусов углов. Однако, точный расчет через координаты дает более надежный результат.

Ответ: приблизительно 116.56°