4. На координатной плоскости даны точки А и прямая 1 (см. рис.). Определите сумму координат точки, симметричной точке А относительно прямой 1.

Краткое пояснение:

Для нахождения симметричной точки относительно прямой, нужно провести перпендикуляр из точки к прямой, продолжить его на такое же расстояние за прямую, и точки на этом перпендикуляре будут симметричными. Также, прямая 1 проходит через точки (0, 2) и (2, 0).

Пошаговое решение:

1. Из рисунка определим координаты точки А: А(3, 1).
2. Определим уравнение прямой 1. Прямая проходит через точки (0, 2) и (2, 0).
3. Угловой коэффициент (k) равен \( k = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1 \).
4. Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \). Подставляя точку (0, 2), получаем \( 2 = -1 \cdot 0 + b \Rightarrow b = 2 \).
5. Уравнение прямой 1: \( y = -x + 2 \) или \( x + y - 2 = 0 \).
6. Пусть точка, симметричная точке А(3, 1) относительно прямой 1, имеет координаты А'(x', y').
7. Середина отрезка АА' лежит на прямой 1. Координаты середины: \( \left(\frac{3 + x'}{2}, \frac{1 + y'}{2}\right) \).
8. Подставляем координаты середины в уравнение прямой: \( \frac{3 + x'}{2} + \frac{1 + y'}{2} - 2 = 0 \).
9. Умножаем на 2: \( 3 + x' + 1 + y' - 4 = 0 \Rightarrow x' + y' = 0 \).
10. Отрезок АА' перпендикулярен прямой 1. Угловой коэффициент прямой 1 равен -1. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен \( k_{\perp} = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{-1} = 1 \).
11. Уравнение прямой, проходящей через А(3, 1) с угловым коэффициентом 1: \( y - 1 = 1(x - 3) \Rightarrow y - 1 = x - 3 \Rightarrow y = x - 2 \).
12. Точка А'(x', y') лежит на этой прямой, значит, \( y' = x' - 2 \).
13. Теперь у нас есть система уравнений:
• 1) \( x' + y' = 0 \)
• 2) \( y' = x' - 2 \)
14. Подставим (2) в (1): \( x' + (x' - 2) = 0 \Rightarrow 2x' - 2 = 0 \Rightarrow 2x' = 2 \Rightarrow x' = 1 \).
15. Найдем y': \( y' = 1 - 2 = -1 \).
16. Координаты симметричной точки А'(1, -1).
17. Сумма координат точки А': \( 1 + (-1) = 0 \).

Ответ: 0