4. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Question

Вопрос:

Фото задания

4. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Accepted Answer

Привет! Давай разберемся с этой задачей на касательную.

Что дано?

Точка C выбрана на отрезке AB.
AC = 75
BC = 10
Построена окружность с центром в точке A, которая проходит через точку C.

Что нужно найти?

Длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

1. Радиус окружности: Поскольку окружность с центром A проходит через точку C, то отрезок AC является радиусом этой окружности. Значит, R = AC = 75.

2. Длина отрезка AB: Точка C лежит на отрезке AB, поэтому длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB.

\[ AB = AC + CB \]

\[ AB = 75 + 10 = 85 \]

3. Прямоугольный треугольник: Отрезок касательной, проведенной из точки B к окружности, перпендикулярен радиусу, проведенному в точку касания. Обозначим точку касания как T. Тогда отрезок AT — это радиус (AT = 75), и угол ATB — прямой (90°).

4. Применение теоремы Пифагора: Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ATB, где:

Гипотенуза — это отрезок AB (AB = 85).
Один катет — это радиус AT (AT = 75).
Второй катет — это искомый отрезок касательной BT.

По теореме Пифагора:

\[ AT^2 + BT^2 = AB^2 \]

\[ 75^2 + BT^2 = 85^2 \]

\[ 5625 + BT^2 = 7225 \]

Теперь найдем BT²:

\[ BT^2 = 7225 - 5625 \]

\[ BT^2 = 1600 \]

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину BT:

\[ BT = \sqrt{1600} \]

\[ BT = 40 \]

Ответ: 40