4. На полке случайным образом в стопку сложены видеокассеты, из которых 3 с классикой и 5 с рок-музыкой. Какова вероятность, что видеокассеты разных жанров не перемешаны друг с другом?

Решение:

Всего видеокассет: \( 3 + 5 = 8 \).

Общее количество способов расположить 8 видеокассет в стопку равно \( 8! \).

Условие «видеокассеты разных жанров не перемешаны друг с другом» означает, что все кассеты одного жанра стоят подряд.

Возможны два варианта расположения:

1. Сначала все 3 классические кассеты, затем все 5 рок-кассет (ККК РРРРР).
2. Сначала все 5 рок-кассет, затем все 3 классические кассеты (РРРРР ККК).

Количество способов расположить 3 классические кассеты между собой: \( 3! \).

Количество способов расположить 5 рок-кассет между собой: \( 5! \).

Для первого варианта (ККК РРРРР) количество перестановок: \( 3! \times 5! \).

Для второго варианта (РРРРР ККК) количество перестановок: \( 5! \times 3! \).

Общее количество благоприятных исходов: \( 2 \times (3! \times 5!) = 2 \times (6 \times 120) = 2 \times 720 = 1440 \).

Вероятность: \( P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{2 \times 3! \times 5!}{8!} \)

\[ P = \frac{2 \times 6 \times 120}{40320} = \frac{1440}{40320} = \frac{144}{4032} = \frac{1}{28} \]

Ответ: \(\frac{1}{28}\)