4. На продолжении основания AC равнобедренного треугольника ABC взяли точки M и K так, что углы ABM и CBK равны. Докажите, что AM = CK.

Предположим, что M и K лежат на продолжениях AC за точками A и C соответственно. Так как ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, то AB = CB и ∠BAC = ∠BCA.

1. Углы ∠BAM и ∠BCK смежны соответственно с равными углами ∠BAC и ∠BCA, поэтому ∠BAM = ∠BCK.
2. По условию ∠ABM = ∠CBK.
3. В треугольниках ABM и CBK равны сторона AB = CB и прилежащие к ним углы. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.

В равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит, AM = CK.

Ответ: AM = CK.