5. Докажите, что один из углов четырёхугольника на клетчатой бумаге равен сумме двух других.

Обозначим вершины по порядку: P — верхняя левая, Q — верхняя правая, R — правая внутренняя, S — нижняя.

По клеткам направление PQ горизонтальное, а от P до S — на одну клетку вправо и на три вниз. Поэтому \(\angle QPS=\arctan 3\).

Угол при Q образован горизонтальным отрезком QP и отрезком QR, который смещён на две клетки влево и на одну вниз: \(\angle PQR=\arctan\frac{1}{2}\).

Для угла при S векторы SP и SR имеют координаты \((-1,-3)\) и \((1,-2)\). Их скалярное произведение и модуль определителя равны 5, поэтому угол между ними равен \(45^\circ\): \(\angle PSR=45^\circ\).

Поскольку \(\tan\left(\arctan\frac{1}{2}+45^\circ\right)=3\), а оба угла острые, получаем \(\arctan\frac{1}{2}+45^\circ=\arctan 3\). Следовательно, \(\angle QPS=\angle PQR+\angle PSR\).

Ответ: угол при верхней левой вершине равен сумме углов при верхней правой и нижней вершинах.