4. На рисунке 159 BD = BF, ∠BDE = ∠BFK. Доказать, что ΔABD = ΔCBF.

По рисунку точки \(A,D,E\) лежат на одной прямой, а точки \(C,F,K\) — на другой.

1. Углы \(\angle BDA\) и \(\angle BDE\) — смежные, поэтому \(\angle BDA = 180^\circ - \angle BDE\).
2. Углы \(\angle BFC\) и \(\angle BFK\) — смежные, поэтому \(\angle BFC = 180^\circ - \angle BFK\).
3. Так как \(\angle BDE = \angle BFK\), то их смежные углы также равны: \(\angle BDA = \angle BFC\).
4. Углы \(\angle ABD\) и \(\angle CBF\) — вертикальные, следовательно, \(\angle ABD = \angle CBF\).
5. По условию \(BD = BF\).

В треугольниках \(ABD\) и \(CBF\) равны две пары углов и сторона между ними: \(\angle BDA = \angle BFC\), \(\angle ABD = \angle CBF\), \(BD = BF\).

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:

\(\triangle ABD = \triangle CBF\).