4. На рисунке ABCD — трапеция, BCFH — прямоугольник, его диагонали параллельны боковым сторонам трапеции. 1) Докажите, что ΔABK — равнобедренный. 2) Докажите, что AD = 3BC.

Примечание: на рисунке нижняя правая вершина прямоугольника обозначена K, хотя в строке условия читается F. В доказательстве используем обозначения с рисунка: прямоугольник BCKH.

Пусть BC = HK = w, а BH = CK = h. Так как диагональ HC параллельна AB, треугольники AHB и HCK подобны. При этом BH = CK, поэтому AH = HK = w и AB = HC.

Аналогично, BK параллельна CD, и треугольники BCK и KCD подобны. Поскольку CK = BH, получаем KD = HK = w и BK = CD.

В прямоугольнике диагонали равны, значит AB = HC = BK. Следовательно, в треугольнике ABK равны стороны AB и BK, поэтому он равнобедренный.

AD = AH + HK + KD = w + w + w = 3w. Поскольку BC = w, получаем AD = 3BC.

Ответ: ΔABK равнобедренный; AD = 3BC.