4. На рисунке ABCD — трапеция, ВСKH — прямоугольник, его диагонали параллельны боковым сторонам трапеции. 1) Докажите, что △АВК — равнобедренный. 2) Докажите, что АD = 3ВС.

Пусть диагональ BK параллельна CD, а диагональ CH параллельна AB. Обозначим BC = HK = a и BH = CK = h, поскольку BCHК — прямоугольник. Точки A, H, K, D лежат на одной прямой.

1. Так как AB ∥ CH, а CH — диагональ прямоугольника, горизонтальное смещение от H до A равно HK = a. Аналогично, из CD ∥ BK горизонтальное смещение от K до D равно HK = a. Поэтому AH = KD = a.

   Кроме того, прямоугольные треугольники ABH и BKH имеют равные катеты: AH = HK = a и BH = HK? Это равенство не следует из условий. Вместо этого учитываем параллельность: AB ∥ CH и CD ∥ BK. У этих параллельных прямых одинаковы соответствующие направления диагоналей, поэтому AB и BK имеют одинаковые горизонтальное и вертикальное приращения по модулю: для AB они равны AH = a и BH = h, для BK — HK = a и BH = h. Следовательно, AB = BK.

   Значит, △ABK равнобедренный, его равные стороны — AB и BK.

2. Основание трапеции складывается из отрезков AH, HK и KD:

   AD = AH + HK + KD = a + a + a = 3a.

   Так как HK = BC = a, получаем AD = 3BC.

Ответ: 1) AB = BK, поэтому △ABK равнобедренный; 2) AD = 3BC.