4. На рисунке изображен прямоугольник КСТА. Найдите a) KZ+CZ b) KZ-CZ c) KA-KC если КС=24, СТ=45

INSIGHT:

Решение:

Так как КСТА — прямоугольник, то его диагонали пересекаются в точке Z и делятся пополам. Следовательно, Z является серединой диагоналей КС и ТА.

Дано: КС = 24, СТ = 45.

a) KZ + CZ

Так как Z — середина диагонали КС, то KZ = ZC = КС/2.

KZ = 24 / 2 = 12.

CZ = 24 / 2 = 12.

KZ + CZ = 12 + 12 = 24.

Векторно: KZ и CZ — векторы, сонаправленные вдоль диагонали КС. Их сумма равна вектору КС.

KZ + CZ = КС = 24.

b) KZ - CZ

Векторы KZ и CZ сонаправлены. Их разность равна нулевому вектору, так как их длины равны, и они совпадают по направлению.

KZ - CZ = 0 (нулевой вектор).

c) KA - KC

В прямоугольнике диагонали равны: КС = ТА = 24.

KA и KC — векторы, исходящие из одной точки K. KA — это половина диагонали ТА, а KC — это диагональ.

Если принять K за начало координат (0,0), то:

Пусть C = (24, 0) (предположим, что КС лежит вдоль оси X для простоты, но это не так, т.к. СТ = 45). Правильнее использовать вершины прямоугольника.

Рассмотрим треугольник КСТ. Это прямоугольный треугольник, так как все углы прямоугольника прямые. По теореме Пифагора найдем длину диагонали ТК (она равна КС).

В прямоугольнике противоположные стороны равны: КС = ТА = 24, СТ = КА = 45.

Вектор KA и вектор KC. KA — это одна из сторон прямоугольника, KC — диагональ.

KA - KC = AC (по правилу вычитания векторов, если векторы исходят из одной точки).

Однако, в данном контексте, A и C — это вершины прямоугольника. KA — это вектор, идущий от K к A. KC — это вектор, идущий от K к C.

KA - KC = AC. Но AC — это вектор, идущий от C к A. То есть KA - KC = CA.

Найдем длину вектора CA. В прямоугольнике диагонали равны: ТА = КС = 24.

Стороны: КА = 45, КС = 24.

В прямоугольнике KA = CT = 45, KC = TA = 24.

KA - KC = CA (вектор от C к A).

В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны. Вектор CA равен вектору ТK.

Длина KA = 45. Длина KC = 24.

Вектор KA - KC. Применим правило треугольника: если из точки K выйти вектором KC, а затем из точки C выйти вектором CA, то мы придем в точку A. Значит, KA = KC + CA. Отсюда CA = KA - KC.

Длина вектора CA равна длине стороны ТК, которая равна 45.

Ответ:

• a) KZ + CZ = 24
• b) KZ - CZ = 0
• c) KA - KC = 45 (длина вектора CA, который равен вектору ТК)