4. На рисунке отрезок МР параллелен стороне СЕ, луч МК является биссектрисой угла ВМР. Найдите величину угла ВКМ.

Решение:

На рисунке нам даны следующие условия:

• Отрезок МР || СЕ
• Луч МК — биссектриса угла ВМР.
• \( \angle C = 70^{\circ} \)
• \( \angle E = 50^{\circ} \)

Сначала найдём \( \angle MPE \). Так как МР || СЕ, то \( \angle MPE \) и \( \angle CE P \) являются внутренними накрест лежащими при секущей РЕ. Следовательно, \( \angle MPE = \angle CEP = 50^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle MPE \). Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём \( \angle EMP \).

\( \angle EMP = 180^{\circ} - \angle MPE - \angle PEM = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 50^{\circ} = 80^{\circ} \).

Так как МК — биссектриса \( \angle BMP \), то \( \angle BMK = \angle KMP \). Сумма смежных углов \( \angle BMP \) и \( \angle EMP \) равна 180°.

\( \angle BMP = 180^{\circ} - \angle EMP = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).

Поскольку МК — биссектриса \( \angle BMP \), то:

\( \angle KMP = \frac{\angle BMP}{2} = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ} \).

Наконец, рассмотрим \( \triangle MKP \). У нас есть \( \angle KMP = 50^{\circ} \) и \( \angle MPK = \angle MPE = 50^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle MKP \) — равнобедренный с основанием МР, и \( \angle MKP = \angle KMP = \angle MPK = 50^{\circ} \).

\( \angle BK M = 180^{\circ} - \angle MKP = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \).

Ответ: 130°.