4. На рисунке отрезок PK параллелен стороне BC, луч PM является биссектрисой угла KPD. Найдите величину угла PMD.

Решение:

На рисунке нам даны углы \( ж B = 50^\circ \) и \( ж C = 70^\circ \) в треугольнике \( В CD \).

Сумма углов в треугольнике \( В CD \) равна \( 180^\circ \), поэтому \( ж D = 180^\circ - ж B - ж C = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ \).

Нам дано, что \( PK Ⅴ \parallel \space BC \). Луч \( PM \) — биссектриса угла \( KPD \). Угол \( KPD \) является внешним углом треугольника \( P MD \) при вершине \( P \).

Угол \( KPD \) смежный с углом \( PDM \) (углом \( D \) треугольника \( P MD \)).

Так как \( PK Ⅴ \parallel \space BC \), то накрест лежащие углы при секущей \( PD \) равны: \( ж KPD = ж D = 60^\circ \).

Так как \( PM \) — биссектриса \( ж KPD \), то \( ж KPM = ж MPD = ж KPD / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник \( P MD \). Сумма углов в \( Д P MD \) равна \( 180^\circ \). Мы знаем \( ж D = 60^\circ \) и \( ж MPD = 30^\circ \).

Следовательно, \( ж PMD = 180^\circ - ж D - ж MPD = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ \).

Ответ: 90°.