4. На рисунке прямая АС касается окружности с центром О в точке А. Найдите угол ВАС, если угол АОВ равна 108°.

Задание 4

Дано:

• Окружность с центром O.


• Прямая AC касается окружности в точке A.


• Угол AOB = 108°.

Найти: угол BAC.

Решение:

1. Угол AOB – центральный, он равен дуге AB. Дуга AB = 108°.


2. Угол ACB – вписанный, опирается на дугу AB. Значит, ∠ACB = Дуга AB / 2 = 108° / 2 = 54°.


3. Так как AC – касательная к окружности в точке A, то радиус OA перпендикулярен касательной AC. Следовательно, ∠OAC = 90°.


4. Угол BAC является частью угла OAC.


5. Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB (радиусы), значит, треугольник AOB – равнобедренный.


6. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OAB = ∠OBA = (180° - ∠AOB) / 2 = (180° - 108°) / 2 = 72° / 2 = 36°.


7. Угол BAC = ∠OAC - ∠OAB = 90° - 36° = 54°.

Ответ: 54°.