4. На рисунке СК = 5 см, КD = 10 см, AK/KB = 1/2. Найдите длину хорды АВ.

Решение:

Пусть \( AK = x \) см. Тогда \( KB = 2x \) см.

По теореме о секущих и касательной, проведённых из одной точки:

\[ AK \cdot KD = BK \cdot KC \]

Подставим известные значения:

\[ x \cdot 10 = 2x \cdot 5 \]

\[ 10x = 10x \]

Это равенство верно при любом \(x\), что указывает на то, что данная конфигурация не позволяет однозначно определить длину хорды AB, если только не использовать дополнительные свойства, связанные с хордами и секущими, которые не указаны явно.

Однако, если \(C, K, D\) лежат на одной прямой, а \(A, K, B\) также лежат на одной прямой, и \(K\) — точка пересечения хорды \(CD\) и хорды \(AB\), то теорема о пересекающихся хордах имеет вид:

\[ AK \cdot KB = CK \cdot KD \]

Подставим значения:

\[ AK \cdot KB = 5 \cdot 10 = 50 \]

Из условия \( AK/KB = 1/2 \), значит \( KB = 2 AK \).

Подставим это в уравнение:

\[ AK \cdot (2 AK) = 50 \]

\[ 2 (AK)^2 = 50 \]

\[ (AK)^2 = 25 \]

\[ AK = 5 \text{ см} \]

Тогда \( KB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см} \).

Длина хорды \( AB = AK + KB = 5 + 10 = 15 \text{ см} \).

Ответ: 15 см.