5. АВ – общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 9 см и 4 см, А и В — точки касания. Найдите длину отрезка АВ.

Решение:

Пусть \(r_1 = 9\) см и \(r_2 = 4\) см — радиусы окружностей. Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры окружностей. Так как окружности касаются, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 9 + 4 = 13 \) см.

Проведём радиусы \(O_1A\) и \(O_2B\) к точкам касания. Эти радиусы перпендикулярны общей касательной \(AB\), то есть \(\angle O_1AB = \angle O_2BA = 90°\).

Через центр \(O_2\) меньшей окружности проведём прямую, параллельную \(AB\), до пересечения с радиусом \(O_1A\) в точке \(C\). Получится прямоугольник \(ABO_2C\) и прямоугольный треугольник \(O_1CO_2\).

В прямоугольнике \(ABO_2C\): \(AC = O_2B = r_2 = 4\) см и \(CO_2 = AB\).

В прямоугольном треугольнике \(O_1CO_2\):

• Гипотенуза \(O_1O_2 = 13\) см.
• Катет \(O_1C = O_1A - AC = r_1 - r_2 = 9 - 4 = 5\) см.
• Катет \(CO_2 = AB\) — искомая длина.

По теореме Пифагора:

\[ (O_1C)^2 + (CO_2)^2 = (O_1O_2)^2 \]

\[ 5^2 + (AB)^2 = 13^2 \]

\[ 25 + (AB)^2 = 169 \]

\[ (AB)^2 = 169 - 25 \]

\[ (AB)^2 = 144 \]

\[ AB = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Ответ: 12 см.