4. На рисунке точки A, B, C и D лежат в плоскости α, а точка M не лежит в этой плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки A, B, M и D, C, M?

Рассмотрим плоскости (ABM) и (DCM).

1. Обе плоскости содержат точку M.
2. Плоскость (ABM) пересекает плоскость α по прямой AB.
3. Плоскость (DCM) пересекает плоскость α по прямой DC.
4. Так как M не принадлежит α, плоскости (ABM) и (DCM) не совпадают: если бы они совпадали, то плоскость, содержащая M, содержала бы и всю плоскость α, что невозможно.
5. Две различные плоскости, имеющие общую точку M, пересекаются по прямой, проходящей через M.

Ответ: да, плоскости (ABM) и (DCM) пересекаются по некоторой прямой, проходящей через точку M.