4. На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены точки P, M, E и K так, что AP = BM = CE = DK = 3 см, ∠APK = 60°. Чему равен периметр четырёхугольника PMEK? 1) 20 см 2) 36 см 3) 24 см 4) 12 см

Обозначим сторону квадрата через a. Треугольник APK прямоугольный при A: AP лежит на AB, а AK — на AD, причём AB ⟂ AD. Так как DK = 3 см, AK = a − 3. Из ∠APK = 60° получаем tan 60° = AK / AP, то есть √3 = (a − 3) / 3. Следовательно, a − 3 = 3√3.

В прямоугольном треугольнике PBM катеты равны PB = a − 3 = 3√3 и BM = 3. Поэтому PM = √((3√3)² + 3²) = 6 см. По симметричному расчёту ME = EK = KP = 6 см.

Периметр PMEK равен 4 · 6 = 24 см.

Ответ: 3) 24 см.