4. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены такие точки M и N соответственно, что AM = MB, AN = 2/3 AD. Выразите векторы DM и NC через векторы AB = a и AD = b.

Обозначим начало отсчёта точкой A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а в параллелограмме \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

Так как M — середина AB, \(\overrightarrow{AM}=\frac12\vec a\). Поэтому

\[\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=-\vec b+\frac12\vec a=\frac12\vec a-\vec b.\]

Из условия \(\overrightarrow{AN}=\frac23\vec b\). Следовательно,

\[\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AN}=(\vec a+\vec b)-\frac23\vec b=\vec a+\frac13\vec b.\]

Ответ: \(\overrightarrow{DM}=\frac12\vec a-\vec b\), \(\overrightarrow{NC}=\vec a+\frac13\vec b\).