5. В трапеции ABCD (BC ∥ AD) диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O, AO : OC = 2 : 1, BD = 9 см, AC = 12 см. Найдите: а) |AD|; б) |OB + OC|; в) |OB − 1/2 OA|.

Так как \(AO:OC=2:1\) и \(AC=12\) см, получаем \(AO=8\) см, \(OC=4\) см.

В трапеции точка пересечения диагоналей делит их пропорционально основаниям: \(AO:OC=DO:OB=2:1\). Вместе с \(BD=DO+OB=9\) см это даёт \(DO=6\) см и \(OB=3\) см.

а) Диагонали перпендикулярны, значит треугольник AOD прямоугольный с катетами 8 см и 6 см. Поэтому \(|AD|=\sqrt{8^2+6^2}=10\) см.

б) Векторы \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\) лежат на перпендикулярных диагоналях. Следовательно, \(|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\) см.

в) Векторы \(\overrightarrow{OB}\) и \(\frac12\overrightarrow{OA}\) также направлены вдоль перпендикулярных диагоналей; их длины равны 3 см и 4 см. Поэтому \(|\overrightarrow{OB}-\frac12\overrightarrow{OA}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\) см.

Ответ: а) 10 см; б) 5 см; в) 5 см.