4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и K так, что AM : MB = 3 : 4, BK : KC = 2 : 3. Выразите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{DA}=\vec a\) и \(\overrightarrow{DC}=\vec b\).

Положим точку D началом отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{DA}=\vec a\), \(\overrightarrow{DC}=\vec b\), а для параллелограмма \(\overrightarrow{DB}=\vec a+\vec b\).

Из отношения \(AM:MB=3:4\) следует, что \(\overrightarrow{AM}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{7}\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{DM}=\vec a+\frac{3}{7}\vec b\).

Из отношения \(BK:KC=2:3\) следует, что \(\overrightarrow{BK}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}=-\frac{2}{5}\vec a\). Тогда \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\vec a+\vec b\).

Вычтем радиус-векторы точек M и K:

\(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{DK}-\overrightarrow{DM}=\left(\frac{3}{5}-1\right)\vec a+\left(1-\frac{3}{7}\right)\vec b=-\frac{2}{5}\vec a+\frac{4}{7}\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{MK}=-\frac{2}{5}\vec a+\frac{4}{7}\vec b\).