4. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены соответственно точки M и H так, что AB = 3BM, BC = 3BH. Докажите, что MH ∥ AC и MH = 1/3 AC. Используя векторы, докажите.

Так как \(AB=3BM\), то \(\overrightarrow{BM}=\frac13\overrightarrow{BA}\). Аналогично из \(BC=3BH\) следует \(\overrightarrow{BH}=\frac13\overrightarrow{BC}\).

Рассмотрим вектор от M к H:

\(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BH}=-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BH}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{BC}=\frac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\frac13\overrightarrow{AC}.\)

Следовательно, \(\overrightarrow{MH}\) сонаправлен с \(\overrightarrow{AC}\), поэтому \(MH\parallel AC\), а длины связаны равенством \(MH=\frac13 AC\).