4°. На сторонах параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AM, BK, CE, DF. Докажите, что четырёхугольник MKEF — параллелограмм.

Пусть точки M, K, E, F лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA, а AM = BK = CE = DF. Обозначим общую длину этих отрезков через x, длину стороны AB через a, а стороны параллелограмма векторно — через AB = u и AD = v.

1. Из равенства AM = CE следует, что отрезки на параллельных сторонах AB и CD имеют одинаковую длину. Поэтому вектор ME равен u + v.
2. Аналогично, из BK = DF следует, что вектор KF также равен u + v.
3. Следовательно, ME = KF как векторы: противоположные стороны четырёхугольника MKEF параллельны и равны.

Если отрезки отложены от вершин в указанных направлениях, это доказывает, что MKEF — параллелограмм.