4. На сторонах угла с вершиной O отмечены точки A и B так, что OA = OB. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные сторонам угла и пересекающиеся в точке C. Докажите, что луч OC — биссектриса угла AOB.

Рассмотрим треугольники \(\triangle OAC\) и \(\triangle OBC\).

1. Так как \(AC\perp OA\), то \(\angle OAC=90^\circ\).
2. Так как \(BC\perp OB\), то \(\angle OBC=90^\circ\).
3. Отрезок \(OC\) является общей гипотенузой треугольников.
4. По условию \(OA=OB\).

Следовательно, прямоугольные треугольники \(OAC\) и \(OBC\) равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

\[\angle AOC=\angle COB.\]

Значит, луч \(OC\) делит угол \(AOB\) на два равных угла, то есть является его биссектрисой.

Ответ: луч \(OC\) — биссектриса угла \(AOB\).