№4. На стороне AB и диагонали BD параллелограмма ABCD лежат точки N и M так, что AN : NB = 3 : 2, BM : MD = 5 : 2. Выразите вектор MN через векторы \(\vec x=\overrightarrow{CB}\) и \(\vec y=\overrightarrow{CD}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AD}=\vec v\). Тогда в параллелограмме \(\vec x=\overrightarrow{CB}=-\vec v\), а \(\vec y=\overrightarrow{CD}=-\vec u\).

Из отношения \(AN:NB=3:2\) следует \(\overrightarrow{AN}=\frac35\vec u\).

Так как \(BM:MD=5:2\), точка \(M\) делит диагональ \(BD\) в отношении \(5:2\):

\(\overrightarrow{BM}=\frac57\overrightarrow{BD}=\frac57(\vec v-\vec u)\).

Теперь выразим искомый вектор:

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}\), или, учитывая положение точек относительно начала в вершине \(A\), \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\).

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec u+\frac57(\vec v-\vec u)=\frac27\vec u+\frac57\vec v\).

\(\overrightarrow{MN}=\frac35\vec u-\frac27\vec u-\frac57\vec v=\frac{11}{35}\vec u-\frac57\vec v\).

Подставим \(\vec u=-\vec y\), \(\vec v=-\vec x\):

\(\overrightarrow{MN}=\frac57\vec x-\frac{11}{35}\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{MN}=\frac57\vec x-\frac{11}{35}\vec y\).