4. На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка A1 так, что DA1 = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку A1 и пересекает сторону CD в точке C1. а) Докажите подобие треугольников C1DA1 и ABC. б) Найдите AC, если BC = 10 см, A1C1 = 6 см.

а) Так как плоскость проходит через A1 и параллельна AC, её линия пересечения с плоскостью параллелограмма — A1C1 — параллельна AC. Также C1D лежит на CD, а DA1 лежит на DA. В параллелограмме CD ∥ AB и DA ∥ BC. Значит, соответствующие стороны треугольников C1DA1 и ABC параллельны попарно, и углы этих треугольников соответственно равны. Следовательно, △C1DA1 ∼ △ABC.

б) По подобию соответствуют стороны A1C1 и AC, DA1 и BC:

A1C1 / AC = DA1 / BC.

6 / AC = 4 / 10, поэтому AC = 6 · 10 / 4 = 15 см.

Ответ: а) △C1DA1 ∼ △ABC; б) AC = 15 см.