4. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка K так, что AK = AB. а) Докажите, что CK — биссектриса угла BCD. б) Найдите периметр параллелограмма, если AD = 10 см, а отрезок KD = 6 см.

а) Обозначим \(\angle DAK=\alpha\). Поскольку \(AK=AB\), треугольник ABK равнобедренный, и \(\angle AKB=\angle ABK=(180^\circ-\alpha)/2\). Так как A, K, D лежат на одной прямой, \(\angle BKD=180^\circ-\angle AKB=(180^\circ+\alpha)/2\).

В параллелограмме \(CD=AB=AK\), поэтому треугольник CDK равнобедренный. Кроме того, \(CD\parallel AB\), так что \(\angle CDK=\angle DAB=\alpha\), откуда \(\angle DKC=\alpha\). Следовательно, \(\angle BKC=\angle BKD-\angle DKC=(180^\circ-\alpha)/2\). А из параллельности \(BC\parallel AD\) получаем \(\angle BCK=\angle DKC=\alpha\). Также \(\angle KCD=\angle CKD=(180^\circ-\alpha)/2\), поскольку \(CK\) — общая сторона, а треугольник CDK равнобедренный. Значит, \(\angle BCK=\angle KCD\), и CK — биссектриса угла BCD.

б) \(AK=AD-KD=10-6=4\) см. По условию \(AB=AK=4\) см. Тогда \(P=2(AD+AB)=2(10+4)=28\) см.

Ответ: б) 28 см.