4. На стороне $BC$ ромба $ABCD$ лежит точка $K$ такая, что $BK=KC$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{KD}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AB}$ и $\vec c=\overrightarrow{AD}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. На стороне $BC$ ромба $ABCD$ лежит точка $K$ такая, что $BK=KC$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите…$ Фото задания

4. На стороне $BC$ ромба $ABCD$ лежит точка $K$ такая, что $BK=KC$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{KD}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AB}$ и $\vec c=\overrightarrow{AD}$.

Accepted Answer

В ромбе, как и в параллелограмме, диагональ $AC$ задаётся суммой двух сторон, выходящих из $A$: $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec c$. Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому $\overrightarrow{AO}=\dfrac12(\vec a+\vec c)$.

Так как $BK=KC$, точка $K$ — середина $BC$. Следовательно, $\overrightarrow{BK}=\dfrac12\overrightarrow{BC}=\dfrac12\vec c$, поскольку $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec c$. Тогда $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\vec a+\dfrac12\vec c$.

Наконец, $\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AK}+\vec c=\dfrac12(\vec c-2\vec a)$.

Ответ: $\overrightarrow{AO}=\dfrac12(\vec a+\vec c)$, $\overrightarrow{AK}=\vec a+\dfrac12\vec c$, $\overrightarrow{KD}=\dfrac12\vec c-\vec a$.