4. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение наименьшего из них и следующего за ним на 30 меньше произведения двух остальных.

Задание 4. Последовательные натуральные числа

Решение:

1. Пусть четыре последовательных натуральных числа будут \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \), \( n+3 \), где \( n \) — натуральное число (то есть \( n \ge 1 \)).
2. Произведение наименьшего и следующего за ним: \( n(n+1) \).
3. Произведение двух остальных (больших): \( (n+2)(n+3) \).
4. По условию задачи, произведение наименьшего и следующего за ним на 30 меньше произведения двух остальных. Это можно записать как уравнение:
5. \[ n(n+1) = (n+2)(n+3) - 30 \]
6. Раскроем скобки:
7. \[ n^2 + n = (n^2 + 3n + 2n + 6) - 30 \]
8. \[ n^2 + n = n^2 + 5n + 6 - 30 \]
9. \[ n^2 + n = n^2 + 5n - 24 \]
10. Вычтем \( n^2 \) из обеих частей:
11. \[ n = 5n - 24 \]
12. Перенесём \( n \) в правую часть, а \( 24 \) — в левую:
13. \[ 24 = 5n - n \]
14. \[ 24 = 4n \]
15. Разделим обе части на 4:
16. \[ n = 6 \]
17. Таким образом, наименьшее число равно 6.
18. Четыре последовательных числа: 6, 7, 8, 9.

Проверка:

• Произведение наименьшего и следующего: \( 6 imes 7 = 42 \).
• Произведение двух остальных: \( 8 imes 9 = 72 \).
• Разница: \( 72 - 42 = 30 \). Условие выполнено.

Ответ: 6, 7, 8, 9.