4. Найдите дробь, которую надо сложить с дробью $$\frac{x-x^2}{x^2+2x}$$, чтобы получить $$\frac{1}{x+2}$$.

Решение:

Пусть искомая дробь равна \( \frac{A}{B} \). По условию задачи:

\[ \frac{x-x^2}{x^2+2x} + \frac{A}{B} = \frac{1}{x+2} \]

Сначала упростим первую дробь:

\[ \frac{x-x^2}{x^2+2x} = \frac{x(1-x)}{x(x+2)} = \frac{1-x}{x+2} \]

Теперь подставим упрощённую дробь в уравнение:

\[ \frac{1-x}{x+2} + \frac{A}{B} = \frac{1}{x+2} \]

Чтобы найти \( \frac{A}{B} \), вычтем \( \frac{1-x}{x+2} \) из \( \frac{1}{x+2} \):

\[ \frac{A}{B} = \frac{1}{x+2} - \frac{1-x}{x+2} \]

Знаменатели одинаковые, поэтому вычитаем числители:

\[ \frac{A}{B} = \frac{1 - (1-x)}{x+2} = \frac{1 - 1 + x}{x+2} = \frac{x}{x+2} \]

Ответ: $$\frac{x}{x+2}$$.