4. Найдите дробь, которую надо сложить с дробью \(\frac{x-x^2}{x^3+2x}\), чтобы получить \(\frac{1}{x^2+2}\). Сделайте проверку.

Решение:

Пусть неизвестная дробь равна \( A \). Тогда:

\[ \frac{x-x^2}{x^3+2x} + A = \frac{1}{x^2+2} \]

Вынесем \( x \) из знаменателя первой дроби:

\[ \frac{x-x^2}{x(x^2+2)} + A = \frac{1}{x^2+2} \]

Сократим первую дробь на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)):

\[ \frac{1-x}{x^2+2} + A = \frac{1}{x^2+2} \]

Выразим \( A \):

\[ A = \frac{1}{x^2+2} - \frac{1-x}{x^2+2} \]

\[ A = \frac{1 - (1-x)}{x^2+2} = \frac{1 - 1 + x}{x^2+2} = \frac{x}{x^2+2} \]

Проверка:

\[ \frac{x-x^2}{x(x^2+2)} + \frac{x}{x^2+2} = \frac{1-x}{x^2+2} + \frac{x}{x^2+2} = \frac{1-x+x}{x^2+2} = \frac{1}{x^2+2} \]

Ответ: \( \frac{x}{x^2+2} \).