4. Найдите: \(\int (t\sqrt{t}+\frac{2}{\cos^2 t})\,dt\).

Запишем \(t\sqrt{t}=t^{3/2}\) и проинтегрируем слагаемые отдельно. Поскольку \(\frac{d}{dt}(\tan t)=\frac{1}{\cos^2 t}\), получаем:

\(\int (t\sqrt{t}+\frac{2}{\cos^2 t})\,dt=\int t^{3/2}\,dt+2\int\frac{1}{\cos^2 t}\,dt=\frac{2}{5}t^{5/2}+2\tan t+C.\)

Ответ: \(\frac{2}{5}t^{5/2}+2\tan t+C\).