4. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если оно существует: a) (17-11x)(17 + 11x) = б) (1/7m - 16)(16 + 1/7m) =

Решение:

а) \( (17-11x)(17 + 11x) \)

Это выражение представляет собой разность квадратов: \( a^2 - b^2 \).

\( (17-11x)(17 + 11x) = 17^2 - (11x)^2 = 289 - 121x^2 \).

Это квадратичная функция, ветви которой направлены вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Следовательно, она имеет наибольшее значение, но не имеет наименьшего.

Наибольшее значение достигается при \( x = 0 \), и оно равно \( 289 \).

Ответ: Наибольшее значение равно 289, наименьшего значения не существует.

б) \( \left(\frac{1}{7}m - 16\right)\left(16 + \frac{1}{7}m\right) \)

Перепишем выражение, поменяв местами слагаемые во втором множителе: \( \left(\frac{1}{7}m - 16\right)\left(\frac{1}{7}m + 16\right) \).

Это также выражение представляет собой разность квадратов: \( a^2 - b^2 \), где \( a = \frac{1}{7}m \) и \( b = 16 \).

\( \left(\frac{1}{7}m - 16\right)\left(\frac{1}{7}m + 16\right) = \left(\frac{1}{7}m\right)^2 - 16^2 = \frac{1}{49}m^2 - 256 \).

Это квадратичная функция, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \( m^2 \) положительный). Следовательно, она имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего.

Наименьшее значение достигается при \( m = 0 \), и оно равно \( -256 \).

Ответ: Наименьшее значение равно -256, наибольшего значения не существует.