4) Найдите наименьшее натуральное n, при котором среди трёх дробей 19/(n + 19), 20/(n + 20), 95/(n + 95) нет несократимых.

Дробь с числителем a и знаменателем n + a несократима тогда и только тогда, когда НОД(a, n) = 1.

Для n = 1 НОД(19, 1) = НОД(20, 1) = НОД(95, 1) = 1, поэтому все три дроби несократимы. Значит, условие «нет несократимых» не выполняется.

Для n = 2 НОД(19, 2) = 1, НОД(20, 2) = 2, НОД(95, 2) = 1. Первая и третья дроби несократимы, поэтому условие снова не выполнено.

Для n = 3 все три НОД равны 1, и дроби опять несократимы.

Для n = 4 НОД(20, 4) = 4, но НОД(19, 4) = НОД(95, 4) = 1: две дроби остаются несократимыми.

Для n = 5 НОД(20, 5) = НОД(95, 5) = 5, но НОД(19, 5) = 1. Первая дробь несократима.

При n = 19 все дроби сокращаются, поскольку 19 делит 19 и 95, а НОД(20, 19) = 1 — значит, вторая дробь не сокращается. Следовательно, проверим условие корректно: требуется, чтобы каждая из дробей была сократимой. Для этого n должно иметь общий делитель с 19, 20 и 95 соответственно. Наименьшее такое натуральное число — 190: оно делится на 19, 20 и 95.

При n = 190 дроби сокращаются: НОД(19, 209) = 19, НОД(20, 210) = 10, НОД(95, 285) = 95. Для меньшего n общего условия трёх делимостей не выполнить: оно должно быть кратно НОК(19, 20, 95) = 190.

Ответ: 190.