4. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, описанной около окружности, вписанной в основание пирамиды, если высота пирамиды равна 3 см, а радиус окружности, вписанной в основание, равен √13 см.

Дано: высота пирамиды h = 3 см; радиус вписанной в равностороннее основание окружности r = √13 см.

Обозначим через l апофему пирамиды. Высота пирамиды, радиус r и апофема образуют прямоугольный треугольник, поэтому

\(l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{13})^2}=\sqrt{22}\) см.

Пусть a — сторона основания. Для равностороннего треугольника \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\), следовательно, \(a=2\sqrt{3}r=2\sqrt{39}\) см, а периметр основания \(p=6\sqrt{39}\) см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

\(S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}pl=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{39}\cdot\sqrt{22}=3\sqrt{858}\) см².

Ответ: \(3\sqrt{858}\) см².