4. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 48 и высота равна 7.

Задание 4. Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды

Дано:

• Сторона основания: \( a = 48 \).
• Высота пирамиды: \( H = 7 \).
• Пирамида правильная четырехугольная.

Найти: площадь поверхности пирамиды \( S \).

Решение:

1. Площадь основания \( S_{осн} \) (квадрат): \[ S_{осн} = a^2 = 48^2 = 2304 \]
2. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно апофему \( h_a \) (высоту боковой грани). Сначала найдем половину стороны основания: \( \frac{a}{2} = \frac{48}{2} = 24 \).
3. Апофему найдем по теореме Пифагора, используя высоту пирамиды \( H \) и половину стороны основания: \[ h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 \] \[ h_a^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \] \[ h_a = \sqrt{625} = 25 \]
4. Площадь одной боковой грани (треугольника): \( S_{гр} = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 25 = 24 \cdot 25 = 600 \)
5. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) (сумма площадей 4 граней): \( S_{бок} = 4 \cdot S_{гр} = 4 \cdot 600 = 2400 \)
6. Полная площадь поверхности пирамиды: \( S = S_{осн} + S_{бок} = 2304 + 2400 = 4704 \)

Ответ: 4704.