5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Многогранник состоит из двух частей: большого прямоугольного параллелепипеда и выреза из него. Можно найти площадь поверхности, как если бы это был целый параллелепипед, а затем добавить площади внутренних поверхностей, которые появились после вырезания.

Размеры большого параллелепипеда: длина \( 6 \), ширина \( 4 \), высота \( 7 \).

Размеры выреза: длина \( 4 \), ширина \( 4 \), высота \( 7-4=3 \).

Способ 1: Полная площадь + добавленные площади

1. Площадь боковой поверхности большого параллелепипеда: \( 2 \cdot (6 × 4 + 6 × 7 + 4 × 7) = 2 × (24 + 42 + 28) = 2 × 94 = 188 \).

2. После вырезания добавились три внутренних грани:

• Две грани размером \( 4 \times 4 \) (боковые стенки выреза): \( 2 × (4 × 4) = 2 × 16 = 32 \).
• Одна грань размером \( 4 \times 3 \) (верхняя грань выреза): \( 4 × 3 = 12 \).

3. Площадь поверхности = Площадь большого параллелепипеда + добавленные грани = \( 188 + 32 + 12 = 232 \).

Способ 2: Площадь видимых граней

1. Верхняя грань: \( 6 \times 4 - 4 \times 4 = 24 - 16 = 8 \).

2. Нижняя грань: \( 6 × 4 = 24 \).

3. Передняя грань: \( 6 × 7 = 42 \).

4. Задняя грань: \( 6 × 7 = 42 \).

5. Левая грань: \( 4 × 7 = 28 \).

6. Правая грань (составная): \( 4 × 4 + 4 × 3 = 16 + 12 = 28 \).

7. Внутренняя грань (на месте выреза): \( 4 × 4 = 16 \).

8. Площадь поверхности = \( 8 + 24 + 42 + 42 + 28 + 28 + 16 = 188 \).

Способ 3: Площадь поверхности как у целого параллелепипеда + площади выреза

1. Площадь поверхности целого параллелепипеда \( 6 × 4 × 7 \): \( 2(6 × 4 + 6 × 7 + 4 × 7) = 2(24 + 42 + 28) = 2(94) = 188 \).

2. Площадь двух граней, которые были удалены при вырезании (верхняя и боковая): \( 4 × 4 + 4 × 3 = 16 + 12 = 28 \).

3. Площадь трех новых граней, которые образовались после вырезания (две боковые \( 4 \times 4 \) и одна передняя \( 4 \times 3 \)): \( 2(4 × 4) + 4 × 3 = 2(16) + 12 = 32 + 12 = 44 \).

4. Итоговая площадь: \( 188 - 28 + 44 = 204 \). Ошибка в расчетах. Перепроверим.

Правильный подход:

Площадь поверхности можно посчитать как сумму площадей всех видимых граней:

1. Площадь верхней части: \( (6-4) \times 4 = 2 \times 4 = 8 \) (видимая часть сверху) + \( 4 × 3 = 12 \) (боковая стенка выреза) + \( 4 × 4 = 16 \) (боковая стенка выреза) = \( 8+12+16=36 \).

2. Площадь нижней части: \( 6 × 4 = 24 \).

3. Площадь передней части: \( 6 × 7 = 42 \).

4. Площадь задней части: \( 6 × 7 = 42 \).

5. Площадь левой части: \( 4 × 7 = 28 \).

6. Площадь правой части: \( 4 × 4 + 4 × 3 = 16 + 12 = 28 \).

7. Внутренняя грань, образованная вырезом: \( 4 × 4 = 16 \).

Суммируем все видимые площади: \( 36 + 24 + 42 + 42 + 28 + 28 + 16 = 216 \).

Проверим еще раз:

Площадь поверхности = Площадь поверхности целого параллелепипеда (6x4x7) + Площадь добавленных граней.

1. Площадь большого параллелепипеда: \( 2(6 × 4 + 6 × 7 + 4 × 7) = 2(24 + 42 + 28) = 2(94) = 188 \).

2. Вырез убирает часть верхней грани \( 4 × 4 = 16 \) и часть боковой грани \( 4 × 3 = 12 \). Всего убрано \( 16+12 = 28 \).

3. Добавляются три новые грани: две боковые \( 4 × 4 \) и одна передняя \( 4 × 3 \). Всего добавлено \( 2(4 × 4) + 4 × 3 = 2(16) + 12 = 32 + 12 = 44 \).

4. Итоговая площадь = \( 188 - 28 + 44 = 204 \).

Ответ: 204.