4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 10 см, а сумма диагоналей - 28 см.

Площадь ромба можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \]

где d₁ и d₂ – диагонали ромба.

У нас дано:

• Сторона ромба (a) = 10 см
• Сумма диагоналей (d₁ + d₂) = 28 см

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Также, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике катеты равны половине диагоналей (d₁/2 и d₂/2), а гипотенуза равна стороне ромба (a).

По теореме Пифагора:

\[ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 \]

\[ \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 10^2 \]

\[ d_1^2 + d_2^2 = 400 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. d₁ + d₂ = 28
2. d₁² + d₂² = 400

Из первого уравнения выразим d₂:

\[ d_2 = 28 - d_1 \]

Подставим это во второе уравнение:

\[ d_1^2 + (28 - d_1)^2 = 400 \]

\[ d_1^2 + (784 - 56d_1 + d_1^2) = 400 \]

\[ 2d_1^2 - 56d_1 + 784 - 400 = 0 \]

\[ 2d_1^2 - 56d_1 + 384 = 0 \]

Разделим всё на 2:

\[ d_1^2 - 28d_1 + 192 = 0 \]

Решим квадратное уравнение (через дискриминант или по теореме Виета). По теореме Виета: сумма корней равна 28, произведение — 192. Корни: d₁ = 16 и d₁ = 12.

Если d₁ = 16 см, то d₂ = 28 - 16 = 12 см.

Если d₁ = 12 см, то d₂ = 28 - 12 = 16 см.

В любом случае, диагонали равны 12 см и 16 см.

Теперь найдем площадь:

\[ S = \frac{1}{2} \times 12 \text{ см} \times 16 \text{ см} = \frac{1}{2} \times 192 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2 \]

Ответ: 96 см²