4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 10 см, а сумма диагоналей - 28 см.

Для ромба известны:

• Сторона a = 10 см.
• Сумма диагоналей d₁ + d₂ = 28 см.

Площадь ромба можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \]

Также в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:

\[ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 \]

\[ \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 10^2 = 100 \]

\[ d_1^2 + d_2^2 = 400 \]

У нас есть система уравнений:

1. \[ d_1 + d_2 = 28 \]


2. \[ d_1^2 + d_2^2 = 400 \]

Из первого уравнения выразим d₂:

\[ d_2 = 28 - d_1 \]

Подставим во второе уравнение:

\[ d_1^2 + (28 - d_1)^2 = 400 \]

\[ d_1^2 + (784 - 56d_1 + d_1^2) = 400 \]

\[ 2d_1^2 - 56d_1 + 784 - 400 = 0 \]

\[ 2d_1^2 - 56d_1 + 384 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ d_1^2 - 28d_1 + 192 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = (-28)² - 4 * 1 * 192 = 784 - 768 = 16.

\[ d_1 = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{28 \pm 4}{2} \]

Два возможных значения для d₁:

• \[ d_1 = \frac{28 + 4}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см} \]
• \[ d_1 = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} \]

Если d₁ = 16 см, то d₂ = 28 - 16 = 12 см.

Если d₁ = 12 см, то d₂ = 28 - 12 = 16 см.

В любом случае, диагонали равны 16 см и 12 см.

Теперь найдем площадь:

\[ S = \frac{1}{2} \times 16 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 8 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 96 \text{ см}^2 \]

Ответ: 96 см²