5. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12√2 см, а острый угол 45°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

Когда в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон.

У нас прямоугольная трапеция. Одна боковая сторона является высотой (h), другая – наклонная боковая сторона. Большая боковая сторона – это наклонная, ее длина 12√2 см. Острый угол при основании равен 45°.

Пусть основания трапеции a и b, боковые стороны c и h. В прямоугольной трапеции c = h, если угол у основания 45°.

Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 12√2 см и острым углом 45°. Катеты этого треугольника равны высоте трапеции (h) и разности оснований (|a - b|).

Так как углы в треугольнике 45°, 45°, 90°, то он равнобедренный. Значит, катеты равны:

\[ h = |a - b| = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12 \text{ см} \]

Итак, высота трапеции h = 12 см. Так как это прямоугольная трапеция, то одна из боковых сторон (перпендикулярная основаниям) также равна 12 см.

По условию, в трапецию можно вписать окружность, значит:

\[ a + b = c + h \]

У нас h = 12 см, c = 12√2 см (большая боковая сторона), а другая боковая сторона равна высоте, то есть 12 см.

\[ a + b = 12\sqrt{2} + 12 \]

Площадь трапеции находится по формуле:

\[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]

Подставляем известные значения:

\[ S = \frac{12\sqrt{2} + 12}{2} \times 12 \]

\[ S = (6\sqrt{2} + 6) \times 12 \]

\[ S = 72\sqrt{2} + 72 \text{ см}^2 \]

Ответ: 72√2 + 72 см²