5. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12√2 см, а острый угол 45°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

В прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Также, высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, а боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте.

Большая боковая сторона дана как 12√2 см. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона является высотой. Острый угол 45° находится между большим основанием и большей боковой стороной.

Пусть h — высота трапеции, b — большая боковая сторона, a — меньшее основание, c — большее основание.

Из условия, что в трапецию вписана окружность, следует, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

\[ a + c = h + b \]

В прямоугольной трапеции, если провести высоту из вершины тупого угла к большему основанию, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Гипотенуза — большая боковая сторона b = 12√2 см.
• Один из катетов — высота h.
• Другой катет — разность оснований c - a.
• Угол при большем основании — 45°.

Из свойств этого треугольника:

• \[ h = b \times \sin(45^{\circ}) = 12\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \times \frac{2}{2} = 12 \text{ см} \]
• \[ c - a = b \times \cos(45^{\circ}) = 12\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \times \frac{2}{2} = 12 \text{ см} \]

Так как в трапецию вписана окружность, то h = 2r, и b = 2r, если b — наклонная боковая сторона. Но у нас прямоугольная трапеция, и большая боковая сторона является гипотенузой. Высота h является меньшей боковой стороной.

Следовательно, h = 12 см.

Из условия вписанной окружности: сумма оснований равна сумме боковых сторон:

\[ a + c = h + b \]

Мы знаем, что h = 12 см и b = 12√2 см. Также мы нашли, что c - a = 12 см.

Из c - a = 12, следует c = a + 12.

Подставим это в уравнение суммы оснований и боковых сторон:

\[ a + (a + 12) = 12 + 12\sqrt{2} \]

\[ 2a + 12 = 12 + 12\sqrt{2} \]

\[ 2a = 12\sqrt{2} \]

\[ a = 6\sqrt{2} \text{ см} \]

Теперь найдем c:

\[ c = a + 12 = 6\sqrt{2} + 12 \text{ см} \]

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a+c}{2} \times h \]

\[ S = \frac{6\sqrt{2} + (6\sqrt{2} + 12)}{2} \times 12 \]

\[ S = \frac{12\sqrt{2} + 12}{2} \times 12 \]

\[ S = (6\sqrt{2} + 6) \times 12 \]

\[ S = 72\sqrt{2} + 72 \text{ см}^2 \]

Ответ: 72√2 + 72 см²