4. Найдите последовательно значение каждой из разностей: 1/6 − 1/7; 1/7 − 1/8; 1/8 − 1/9; 1/8 − 1/9; 1/9 − 1/10; 1/9 − 1/10; 1/10 − 1/11; 1/10 − 1/11; 1/11 − 1/12; 1/11 − 1/12; 1/12 − 1/13; а затем значение суммы 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132.

Вычислим разности по формуле 1/n − 1/(n + 1) = 1/[n(n + 1)]:

1/6 − 1/7 = 1/42; 1/7 − 1/8 = 1/56; 1/8 − 1/9 = 1/72; 1/8 − 1/9 = 1/72; 1/9 − 1/10 = 1/90; 1/9 − 1/10 = 1/90; 1/10 − 1/11 = 1/110; 1/10 − 1/11 = 1/110; 1/11 − 1/12 = 1/132; 1/11 − 1/12 = 1/132; 1/12 − 1/13 = 1/156.

Сумма: 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132 = (1/6 − 1/7) + (1/7 − 1/8) + (1/8 − 1/9) + (1/9 − 1/10) + (1/10 − 1/11) + (1/11 − 1/12) = 1/6 − 1/12 = 1/12. Промежуточные слагаемые сокращаются попарно.

Ответ: разности по порядку — 1/42, 1/56, 1/72, 1/72, 1/90, 1/90, 1/110, 1/110, 1/132, 1/132, 1/156; сумма равна 1/12.