4. Найдите последовательно значение каждой из разностей: 1/6 − 1/7; 1/7 − 1/8; 1/8 − 1/9; 1/9 − 1/10; 1/10 − 1/11; 1/11 − 1/12, а затем значение суммы 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132.

Используем правило: 1/n − 1/(n + 1) = 1/[n(n + 1)]. Поэтому:

1. 1/6 − 1/7 = (7 − 6)/42 = 1/42.
2. 1/7 − 1/8 = (8 − 7)/56 = 1/56.
3. 1/8 − 1/9 = (9 − 8)/72 = 1/72.
4. 1/9 − 1/10 = (10 − 9)/90 = 1/90.
5. 1/10 − 1/11 = (11 − 10)/110 = 1/110.
6. 1/11 − 1/12 = (12 − 11)/132 = 1/132.

Значит, сумма равна телескопической разности:

1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132 = (1/6 − 1/7) + (1/7 − 1/8) + (1/8 − 1/9) + (1/9 − 1/10) + (1/10 − 1/11) + (1/11 − 1/12) = 1/6 − 1/12 = 1/12.

Ответ: последовательно 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110, 1/132; сумма равна 1/12.