4. Найдите решение системы уравнений: 1) {x+y=1-z, x-y=3, z=2x; 2) {x+y=2, y+z=4, z+x=6.

Решение системы уравнений:

1. 1)
   Дана система:
   \( \begin{cases} x+y=1-z \\ x-y=3 \\ z=2x \end{cases} \)
   Подставим \( z=2x \) в первое уравнение:
   \( x+y = 1 - 2x \)
   \( 3x+y=1 \)
   Теперь у нас есть система из двух уравнений с \( x \) и \( y \):
   \( \begin{cases} 3x+y=1 \\ x-y=3 \end{cases} \)
   Сложим эти уравнения:
   \( (3x+y) + (x-y) = 1+3 \)
   \( 4x = 4 \)
   \( x = 1 \)
   Найдем \( y \): \( 1-y=3 \)
   \( -y=2 \)
   \( y=-2 \)
   Найдем \( z \): \( z=2x = 2(1)=2 \)
   Проверка:
   \( 1+(-2) = -1 \). \( 1-2 = -1 \) (верно).
   \( 1-(-2)=1+2=3 \) (верно).
   \( z=2(1)=2 \) (верно).
   Ответ: \( x=1, y=-2, z=2 \).
2. 2)
   Дана система:
   \( \begin{cases} x+y=2 \\ y+z=4 \\ z+x=6 \end{cases} \)
   Сложим все три уравнения:
   \( (x+y) + (y+z) + (z+x) = 2+4+6 \)
   \( 2x+2y+2z = 12 \)
   Разделим на 2:
   \( x+y+z = 6 \)
   Теперь вычтем из этого уравнения поочередно каждое из данных уравнений:
   1) \( (x+y+z) - (x+y) = 6 - 2 \) \( \rightarrow z = 4 \)
   2) \( (x+y+z) - (y+z) = 6 - 4 \) \( \rightarrow x = 2 \)
   3) \( (x+y+z) - (z+x) = 6 - 6 \) \( \rightarrow y = 0 \)
   Проверка:
   \( 2+0=2 \) (верно).
   \( 0+4=4 \) (верно).
   \( 4+2=6 \) (верно).
   Ответ: \( x=2, y=0, z=4 \).